『群論への第一歩』「第6章　対称群」ノート

対称群について学ぶ

置換の定義

nを生の整数とします。X_n = { 1, 2, 3, ……, n } としたとき、X_nからX_nへの全単射をn次置換、あるいはX_nの置換といいます。

n次対称群の部分群をn次置換群といいます。

ここから定義の確認ではなく、解析が進められていく

4次対称群S_4の解析

$ 写像の合成○を群演算とする群(S_4,○)を四次対称群という。このS_4について調べていく

S_4の位数は24個

それぞれの素性を調べていく

単位元→そのまま

互換(2次巡回置換)

二つを順繰りに

3次巡回置換

三つを順繰りに

4次巡回置換

四つを順繰りに

巡回置換の積

二つの順繰りの積

任意の4次置換は、互いに素な巡回置換の積で表せる

→一般に、任意のn次置換は、互いに素な巡回置換の積で表せる

正6面体群P_6の解析

正6面体→立方体のこと

正6面体群とは、正6面体の回転対称性を表している群

正6面体は、さまざまな対称性を持つが、その中の回転対称性について考える

正6面体群の台集合→正6面体を自分自身にぴったりと重ねる回転操作全体の集合

たとえば、何も印字されていないサイコロを置き、3Dのレーザー光線でその輪郭線を描いたとする

そのまま90度サイコロを横に回せば、レーザー光線の輪郭線とぴたり重なる。

そういう操作の全体が台集合、ということ

正6面体群の群演算→そうした回転操作を二回続けて行うこと

回して→回す

その台集合と群演算で構成される群P_6を調べていく

台集合の元の素性を調べていく

回転軸で分ける

向かい合う面の中心を通る回転軸

机の上に置いたサイコロを回すイメージ

深く考えなくても、４つあることがわかる（0度、90度、180度、270度）

対角線がある４つの位置に1,2,3,4と名前を付け、回転操作で1,2,3,4の各位置にある対角線がどの位置に移るかを考えます。そうすると、正6明太の回転操作は、1,2,3,4の置換として表すことができそうです。

少なくともそうすれば、４つの要素になる

8つ頂点があるから、引ける対角線は４つ

0度の操作は、対角線は動かない（単位元 e）

90度の操作は、もともと1にあったものが2に、2にあったものが3に、3にあったものが4に、4にあったものが1に動く

1234

2341

=(1234)

180度、270度でも同様に考えられる。

180度は(13)○(24)

1を3にし、3を1にし、2を4にし、4を2にする

互いに素

対角線の交換的なイメージ

270度は(1432)

90度の逆のイメージ

向かい合う面は他にも２つあり（合計3個）、それぞれに回転軸が考えられる

それぞれの軸で4つの回転操作が考えられる

単位元の重複があるので、3×4とはならない

1+ 3×3 個

向かい合う辺の中点を通る回転軸

先に置換の中身を見ておく

M_1 = (12)

3と4が保持されたまま、1と2だけが入れ替わるような回転

3と4はそれぞれ頂点が逆になっているが対角線としては同じとある

イメージするこっち側の手間にある頂点が、向こう側の奥にある頂点に移動するイメージ。同時に向こう側の奥にある頂点が、こっち側にやってくるイメージ。

ぎゅるんっと回る感じだ。

たしかにそのとき、4も頂点が逆になって同じ位置にある

これは0度と180度の操作がある

向かい合う頂点を通る回転軸

これはようするに斜めに回すわけだ。

0度、120度、240度の操作がある

これで全部列挙できたことになる

個数は24個

それぞれS_4の元を一対一で対応づけられる

P_6からS_4の全単射が準同型で、全単斜は準同型は同型写像だから

$ P_6 \cong S_4

が言える。

問題6-1

1からはじめて一周回る組を探す

残った数字でも同じことをする

問題6-2

任意の巡回置換は、左端が等しい互換の積で表せる、らしい

問題を考える

(2687)

2,6,8,7をそれぞれ、6,8,7,2に移す

2を6に、6を8に、8を7に、7を2に移す

(27)(28)(26)も同じことになる

右側から処理していくことになる

2と6を置き換え、2と8を置き換え、2を7に置き換える

最初の2は、「2と6」の部分で6になり、以降は「6」に関する操作が出てこないのでそのまま

次の6は、「2と6」の部分で2になり、「2と8」の部分で8になり、あとはそのまま

8は二つ目で2になり、三つ目で7になる

7は、最後で2になる

たしかに、6,8,7,2になっている

こうして処理するとわかるが、イメージが湧きにくい

ひっくり返されたコップが4つ(a,b,c,d)が並んでいる

マジシャンは、aとbの位置を入れ替え、aとc（今は隣り合っている）の位置を入れ替え、aとd（今は隣り合っている）の位置を入れ替える。

どうなるか

b,c,d,aの順番になる

それぞれの操作は、aと他もう一つの要素への操作（互換）と見なせる？

問題6-3

1との互換への分解

(27)を1との互換(12)(17)の積で表現する

もともとの互換には1が含まれていない

(27)は、2を7に、7を2に

互換(12）は1を2に、2を1に、互換(17)は、1を7に、7を1に

もともとには1が含まれていないのだから、操作(12)は2を1にする（2がどこかにいく）

(17)は、その1を7にする（もともと2であったものが1への置き換えを経由して7になった）。そしてもともとの7を1にする

その1を2にすればいい→(12)

実行の手順(12)(17)(12)

実際はこれをひっくり返して書くが、見た目は変わらない

問題6-4

解説を読んで理解

6-3のちょっと複雑になったバージョンと理解

1との互換は、隣接する互換の積で表せる、とのこと。

(15)を考える

1を5に、5を1にしたい

(45)→(34)→(23）

5を（これを1に変えたいという狙いがある）4に、4を3に、3を2にする

(12)

2を1にする（これで5が1になった）

1を2にする（これを5にしたい）

(23)→(34)→(45)

2を3に、3を4に、4を5にする（来た道を引き返す）

5になったのは(12)で受け取った1

(15)が達成された

問題6-5

難しす　

とりあえず、問題6シリーズを逆に辿ることで任意の4次置換が作れる、という構図だけは理解した

40分くらいかかって、ようやく理解。

といっても何が示されているのか腑に落ちた、くらい。

問題6-4の「1との互換は、隣接する互換の積で表せる」を逆に言えば、必要な隣接する互換を作れたら、1との互換が作れる

問題6-3の「1との互換への分解」を逆に言えば、(1,n)(1,m)さえあれば、(n,m)が作れる

「1との互換セット」がすべて揃っていれば、任意の(n,m)が作れる

問題6-2の「任意の巡回置換は、左端が等しい互換の積で表せる」を逆に言えば、左端が等しい互換を構成できれば、任意の巡回置換が作れる

問題6-1の「任意の置換は互いに素な巡回置換の積で表せる」は逆に言えば、任意の巡回置換が作れるなら、任意の置換が作れる

よって問題6-5では、必要な隣接する互換を(12)と(1234)の積で作ることを目指す

(12)は、(12)○eでできそう e = r○r_-1

(23)は、2を3にして、3を2にするだけの処理　1,4は動かさない

r(12)r^-1

(1234)(12)(4123)

1234→4123→4213→1324

たしかに(23)になっている

この処理は、問題6-4で見かけたのと同じ

(34)は、3を4にして、4を3にするだけの処理 　1,2は動かさない

上と同じように確認できる